בנם של שלום ורחל. נולד בשנת תש"ט (1949) בתימן. ילד שלישי במשפחה מרובת ילדים, ולו שבעה אחים ואחיות.

רחמים עלה ארצה מתימן עם הוריו ועם שני אחיו הגדולים בהיותו בן כחצי שנה. המשפחה השתקעה בראשון לציון, שם נולדו ארבעת אחיו הצעירים ובעיר זו הוא גדל והתחנך.

בשנת 1964, כשהיה בן חמש-עשרה, נפטר אביו, והוא החל לעבוד כדי לעזור לאימו בפרנסת המשפחה.

בגיל שמונה-עשרה קיבל פטור משירות צבאי בשל משקלו הנמוך אך בחר להתנדב לצה"ל. שובץ כלוחם בחיל הרגלים והוצב במחנה "שנלר" בירושלים. במהלך שירותו השתתף במלחמת ששת הימים שפרצה ביוני 1967. לאחר השירות הסדיר השתחרר, ומעת לעת, כשנדרש לכך, התייצב לשירות מילואים.

בהיותו בן עשרים ואחת הכיר את רות והחל לחזר אחריה. עד מהרה היו לבני זוג, ובשנת 1972 נישאו. את ביתם הקימו בראשון לציון. בינו ובין משפחתה נוצר קשר קרוב, ואת השבתות והחגים בילו אצלם בעיר רחובות. כשנה אחרי נישואיהם נולדו לשניים תאומות - דגנית ורווית.

כמה ימים לפני פרוץ מלחמת יום הכיפורים באוקטובר 1973 נקרא לשירות מילואים. בבית נאלץ להותיר את רעייתו ההרה ואת התאומות הפעוטות. כשבוע לאחר פרוץ הקרבות ניתק הקשר עימו, ובמשך כשבוע הוכרז כנעדר. התברר שרחמים נפל בשבי המצרי, ורק לאחר כחודשיים וחצי שב ארצה בעסקת חילופי שבויים.

בשובו ארצה השתנה עד מאוד – התקשה לישון, סבל מחרדות ופחדים ולא הצליח לשוב לשגרת עבודה. בתקופת השבי עבר עינויים קשים מנשוא והיה עד לעינויים שעברו חבריו לשבי, אך את סבלו שמר לעצמו ולא שיתף את יקיריו, למעט חברים קרובים שרק באוזניהם סיפר על החוויות הקשות שעבר.

בשנים הבאות נולדו לזוג עוד שלוש בנות – עדי, דקלה ונעמה. לצד עבודות הבית השוטפות, נהג רחמים להתלוות לרעייתו בעבודתה בעיריית ראשון לציון.

הבנות גדלו ונישאו, ולשמחתו הוא זכה להכיר נכדים ונכדות ושני נינים.

בשנת 2017 הקדישה לו עמותת "ערים בלילה", שפעילותה ממוקדת בחיילי צה"ל שהיו בשבי האויב, לוח במשכן נשיא המדינה, שעליו נחקק: "לרחמים הברי, על עמידתך האיתנה מול האויב בקרב ובשבי".

באמצע העשור השביעי של חייו אובחן כחולה בשחמת הכבד. במשך שבע שנים סבל מהמחלה, ובמהלכן הלך והידרדר מצבו הרפואי עד שהיה מרותק למיטתו. בני משפחתו סעדו אותו במסירות. בספטמבר 2021 התאשפז בבית החולים "אסף הרופא" בבאר יעקב לאחר הידרדרות נוספת במצבו, ושם הלך לעולמו.

רחמים הברי נפטר ביום כ' בתשרי תשפ"ב (26.9.2021). בן שבעים ושתיים בפטירתו. הובא למנוחות בבית העלמין "גורדון" בראשון לציון. הותיר אישה, חמש בנות, נכדים ונינים ושבעה אחים ואחיות.

ספדו לו אוהביו: "רחמים היקר. ייסורים קשים עברת, ובאהבה אותם קיבלת. וחכמים אומרים שייסורים ממרקים עוונותיו של אדם. ונשמתך הזכה והטהורה, אחרי סבל של צער ומחלה, הגיעה אל המנוחה והנחלה...

רחמים היקר, עליך נאמר: ישר דרך ורב מעשים, עזרתו מושטת לא רק למשפחתו אלא גם לאחרים. כמה היה דואג לזולתו, זאת הייתה אצילותו. וזה לא מתוך כורח אלא מרצונו, זה היה טבוע בדמו. שקט וצנוע מטבעו, אשריו ואשרי חלקו...

רחמים היקר, הקמת משפחה לתפארת, בנות שיעשו בעזרת השם הכול למען זכות נשמתך הזכה והטהורה ולהעלותה מעלה מעלה, תפילה ברכות ודברי תורה, כי זה מה שהנשמה זקוקה ורוצה. זכית לנכדים שיזכרו אותך לעולמים, וחבל על דאבדין ולא משתכחין...

היום אנו נפרדים ממך אך לא מזכרך, זכרך יהיה חקוק בליבנו ודמותך תהיה תמיד לנגד עינינו. ינעמו לך רגבי עפרך, ותנוח על משכבך, ובגן עדן תהא מנוחתך, ובצרור החיים תהיה נשמתך, וברוך יהיה זכרך".

בתו הצעירה נעמה כתבה: "היום הכי קשה בשנה – היום שבו תמיד היית יושב ובוכה על החברים שלך שנפלו חללים בעוד שאתה 'זכית' והושלכת לכלא המצרי והיית שבוי. היום הכי קשה בשנה – כי הסיפור שלהם נגמר, והם 'זכו למנוחה', בעוד אתה הסתובבת בעולם עם כל המראות המזעזעים, הקולות הקשים והריחות המחלחלים לנשמה. היום הכי קשה בשנה – כי הסיפור שלהם נחרט על הקיר, אבל הסיפור שלך, אבא, לא נכתב בשום ספר ... אבא יקר, כרגע גם אתה נח אחרי שנלחמת. נלחמת לחיות ויצאת מהעולם כגיבור ישראל".

משפחתו של רחמים הוציאה לאור סידור לעילוי נשמתו.